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让平面几何题更加生动活泼
来源:攀枝花市高中数学名师工作室 作者:攀枝花市高中数学名师工作室 点击数:1741 日期:2012-11-28 01:03:39

  对当前的初中平面几何课程的改革,我们至少有以下三点认识:第一,平面几何教学要选取现实的、有意义的、富有挑战性的内容,紧紧与学生的生活经验与活动经验相联系,为学生提供生动的几何背景;第二,几何的学习方式应该包含观察、实验、猜想、证明等多种形式的数学活动;第三,初中平面几何课程应该兼顾培养学生的演绎推理和合情推理两种能力,从改进以往传统的几何教学目标的角度看,当前尤其需要加强合情推理能力的培养.概括起来,本次初中平面几何课程改革的着眼点在于:不是把平面几何课程当作一系列现成的、凝固的、经典的知识体系去让学生接受,而是把它作为一个可以动态生长的知识领域让学生去探究.在这里,我们探讨传统平面几何题的升华,这既是新课程改革带来的理念的注入,也是来自中学数学教育工作者发自内心的创新和探索,它对新课程平面几何的教学是大有裨益的.
  
  一、让背景“活”起来——应用式升华
  
  传统的平面几何题一般都过于平淡、缺乏生活气息.如果对其赋予与学生密切相关的生活情境,不仅可以激发学生的参与热情,而且还有强烈的教育意义.
  
  例l:如图1,△.ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架.求证:AD上BC.
  
  例2:如图1,△ABC是一个房屋的人字梁,其中AB=AC,为了使人字梁更加稳固,房主要求小木工在顶点A和横梁BC之间加一根柱子AD.可小木工由于未学过几何,不知榫眼D该凿在BC何处,才能使AD⊥BC.请问你能帮助他吗?写出方案并说明理由.
  
  点评:例2是由一个传统题如例l升华为应用性的问题,与例1相比,例2的优越性在于:首先,题型开放了.有的学生凭直觉人胆猜想D为BC的中点;也有的学生依赖生活经验,用悬挂铅垂线的方法寻找D点(铅垂也可用小石块代替);还有的学生想到先拉根细线,再用三角板靠,等等.其次,背景活了.创设“小木工由于未学几何以至不会画图”的情境,不仅可以激发学生学习几何的兴趣,同时也教育学生:学好几何是何等重要!】
  
  二、让题型“活”起来——开放式升华
  
  把过去传统几何题的证明结论,升华为猜想发现结论;或寻找条件部分,然后证明,由封闭向开放转化.
  
  例3:如图2,△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC边和CA边上,BD=2DC,CE=2EA,.AD与BE相交于G.求证:AD=BE
  
  例4:如图2,△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC边和CH边上,.BD=2DC,CE=2EA,AD与BE相交于G,试就有关图形的形状、大小和关系得出尽可能多的结论.
  
  【点评:传统题例3隐去结论“求证AD=BE”,就升华为开放题例4.结论是多种多样的,学生不同的思维方式、不同的数学认知结构和不同的数学能力,可能出现不同的结果.如先考虑三角形的全等关系,有(1)△ACD≌△BAE;由此可推出,(2)AD=BE,(3)∠DAC=∠EBA,(4)∠ADC=∠BEA再考虑特殊角,(5)显然,∠ABC=二BCA=∠CAB=60?/SPAN>,(6)联系(1),有∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+
  
  ∠GAB=∠EAB=60?/SPAN>;进一步推出:(7)∠DGE=120?/SPAN>,(8)D、G、E、C四点共圆,(9)AE·AC=AG·AD,或BG·BE=BD·BC,(10)2AG·AD=BG·BE.(11)∠GDC+∠CEG=180?/SPAN>,(12)△AGE≌△ACD.】
  
  三、让手“活”起来——实验、操作的升华
  
  传统的平面几何题,注重对学生思维能力的培养,而忽视动于能力的训练.其实,结合题目的特征,把传统几何题改编为实际操作题,让学生的手动一动,不但能提高学习兴趣,而且还能加深学生对题目的理解,强化实践能力.
  
  例5:已知:如图3,点A′、B′、C′、D′分别是正方形。ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证:四边形A′B′C′D′为正方形.
  
  例6:如图4,若把正方形ABCD的四个角剪掉,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形?请在图上画出一个可行的方案,并说明理由.
  
  【点评:与例5相比,例6难度虽然大了,但易操作学生通过动手实践发现:当剪下的四个角是全等三角形时,剩下的四边形恰好是正方形.从而为画出方案图和证明奠定了基础.】
  
  例7:把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高线CD剪一刀(图5),从这个三角形中剪下一部分,与剩下部分能拼成一个平行四边形ABCD,如图6所示.
  
  探究1:
  
  (1)想一想:判断ABCD是平行四边形的依据是;
  
  (2)做一做:按上述的剪裁方法,请你拼一个与图6位置或形状不同的平行四边形.
  
  探究2:
  
  (1)试一试:你能拼得所有的不同类型的特殊四边形有;它们的裁剪线分别为;
  
  (2)画一画:请画出你拼得的特殊四边形的示意图.
  
  【点评:例7以动手实验为基础,展示问题的探究即结论的产生过程.对动手实验、周密思考、探索验证能力要求较高.】
  
  我们还可以借助于纸片、三角板等,在几何图形中融人折叠、交换操作等现实情境,把静态的题目向动态转化,把画图形向“实验”(折叠等)与运动操作转化.
  
  例8:如图7,已知在正方形ABCD中,E是AB的中点,EF与DE且交∠ABC的外角平分线BF。于点F.
  
  (1)求证:DE=EF;
  
  (2)若将上述条件中的“E是中点”改为“E是AB上任意一点”,其余条件不变,则结论还成立吗?
  
  如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
  
  这样一个稍具开放的传统题可增加“现实情境”——三角板,升华如下.
  
  例9:如下页图8、9,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A、B重合)。另一条直角边与£CBM的平分线相交于点F.
  
  (1)如图8,当点E在AB边的中点位置时:
  
  ①通过测量DE、EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
  
  ②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
  
  ③请证明你的上述两个猜想.
  
  (2)如图9,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点Ⅳ,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.
  
  四、让过程“活”起来——探究过程的升华
  
  把几何(数学)的研究过程融入题目中,体现数学活动过程,如猜想、类比、发现,一般化与特殊化,试题由形式单一向形式多样转化,由静态向动态转化.其实,前面的问题也不同程度地体现了探究过程.
  
  例10:在一次课题学习活动中,老师提出了如下问题:点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线l能够画几条?
  
  经过思考,甲同学给出了如下画法:如图10,过点P画PE上佃于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线.
  
  根据以上信息,解决下列问题:
  
  (1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.
  
  (2)在图10中,能否再画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1l中画出.
  
  (3)如图11,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?
  
  (4)如图12,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l条数的情况.
  
  【点评:例10把以前的静态问题升华为数学过程,是一道关注学生数学活动和探究过程的好题.本题以课题学习的形式来呈现问题,让学生在解决问题的过程中,亲身经历“创设情景——实践探索——建立模型——熟悉模型——反思——应用与拓展”的探究过程.设计新颖,构思精巧,可谓独具匠心!首先,通过判断甲同学解答的正误来创设问题情境;然后让学生在判断正误的互动中,探究出画符合条件直线的理论依据,进而建立“如何画符合条件的直线”的模型(方法);之后,通过模仿(在画
  
  一条符合条件的直线)来熟悉数学模型;接下来,再通过一个特殊位置来反思数学模型,揭示问题本质;
  
  最后,把模型放到整个正方形中,实现对模型的应用与拓展.这个题目的布局从一般到特殊再到一般,立足于培养学生发现问题、解决问题的能力和创新意识.由于第(4)小题是前3小题的综合与拓展,所以还需学生有分类讨论的意识.】
  
  我们从“应用”“开放”“实践”“过程”对传统题升华为新题型作了概括和探讨,此类升华题已成为近年中考平面几何试题的主流.
  
  【作者简介】刘明辉,山西省长治市第19中学.
  
  【原文出处】《黑龙江教育》:中学教学案例与研究(哈尔滨),2010.7/8.40~42

 
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